二阶矩条件下超临界超过程的强大数定律

假设 $X=\{X_t, t\ge 0\}$ 是局部紧可分度量空间 $(E, m)$ 上的超临界超过程。假设 $X$ 的空间运动是满足某些条件的 Hunt 过程，且其分支机制具有以下形式 $$\psi(x,\lambda)=-a(x)\lambda+b(x)\lambda^2+\int_{(0,+\infty)}(e^{-\lambda y}-1+\lambda y)n(x,dy), \quad x\in E, \quad\lambda> 0,$$ 其中 $a\in \mathcal{B}_b(E)$, $b\in \mathcal{B}_b^+(E)$，且 $n$ 是从 $E$ 到 $(0,\infty)$ 的核，满足 $$\sup_{x\in E}\int_0^\infty y^2 n(x,dy)<\infty.$$ 令 $T_tf(x)=\mathbb{P}_{\delta_x}< f,X_t>$。设 $\lambda_0>0$ 为 $T_t$ 的生成元 $L$ 的最大特征值，$\phi_0$ 和 $\hat{\phi}_0$ 分别为 $L$ 和 $\hat{L}$（$L$ 的 dural）的与 $\lambda_0$ 相关联的本征函数。在空间运动以及 $T_t$ 的 $\phi_0$-变换半群的一些条件下，我们证明对于一大类合适的函数 $f$，有 $$\lim_{t\rightarrow\infty}e^{-\lambda_0 t}< f, X_t> = W_\infty\int_E\hat{\phi}_0(y)f(y)m(dy),\quad \mathbb{P}_{\mu}{-a.s.},$$ 对于 $E$ 上任意具有紧支集的有限初始测度 $\mu$ 成立，其中 $W_\infty$ 是由 $W_\infty:=\lim_{t\to\infty}e^{-\lambda_0t}< \phi_0, X_t>$ 定义的鞅极限。此外，上述极限中的例外集不依赖于初始测度 $\mu$ 和函数 $f$。