超临界非局部分支超过程的线性函数波动

设想$\{X_{t}:t\ge 0\}$是在黎曼空间$E$上的一个超临界超过程，其分支机制为非局部，且初始分布为$\mathbb{P}_{\delta_{x}}$。当从$E$中的点$x$处质量为1时初始化。所谓"超临界"指的是$X_{t}$的第一时刻 semigroups 表现出类似佩尔顿-弗罗贝尼乌斯行为，由特征三元组$(\lambda_{1},\varphi,\widetilde{\varphi})$描述，其中主特征值$\lambda_{1}>0$。在第二时刻条件下，我们证明了$X_{t}$满足大数定律。本文的主要目的是进一步研究线性函数$\mathrm{e}^{-\lambda_{1}t}\langle f,X_{t}\rangle$相对于大数定律给出的极限的波动。为此，我们引入一个参数$\epsilon(f)$用于描述波动第一时刻衰减率的指数。定性地，$\langle f,X_{t}\rangle$的二阶行为取决于$\epsilon(f)-\lambda_{1}/2$的符号。我们证明了对于合适的测试函数$f$，相关线性函数的波动根据$\epsilon(f)$的大小呈现出不同的渐近行为：若$\epsilon(f)\ge\lambda_{1}/2$，则在恰当的归一化下，波动收敛于高斯极限；若$\epsilon(f)<\lambda_{1}/2$，则波动收敛于$L^{2}$极限，归一化因子更大。特别地，当测试函数取为右特征函数$\varphi$时，我们建立了函数中心极限定理。作为应用，我们考虑一个受限域中的多类型超扩散。对于该模型，我们推导了任意线性函数波动的极限定理。