超临界超过程：适当规范化与非退化强极限

假设 $X=\{X_t, t\ge 0; \mathbb{P}_{\mu}\}$ 是局部紧可分度量空间 $E$ 上的超临界超过程。设 $\phi_0$ 为 $X$ 均值半群生成元对应于第一特征值 $\lambda_0$ 的正特征函数。则 $M_t:=e^{-\lambda_0t}\langle\phi_0, X_t\rangle$ 是一个正鞅。设 $M_\infty$ 为 $M_t$ 的极限。已知（见 J. Appl. Probab. 46 (2009), 479--496）$M_\infty$ 非退化当且仅当满足 $L \log L$ 条件。在本文中，我们主要关注不满足 $L \log L$ 条件的情况。我们证明，在某些条件下，存在 $[0, \infty)$ 上的函数 $\gamma_t$ 和非退化随机变量 $W$，使得对于 $E$ 上的任意非零有限 Borel 测度 $\mu$，$$\lim_{t\to\infty}\gamma_t\langle \phi_0,X_t\rangle =W,\qquad\mbox{a.s.-}\mathbb{P}_{\mu}.$$ 我们还给出了一类一般测试函数 $f$ 的 $\gamma_t\langle f,X_t\rangle$ 的几乎必然极限。