测度值 SIR 传染病过程的相变

我们考虑求解如下鞅问题的测度值过程 $X=(X_t)$：对于给定的初始测度 $X_0$，以及所有光滑且具有紧支集的测试函数 $\varphi$，\begin{eqnarray*}X_t(\varphi )=X_0(\varphi)+\frac{1}{2}\int _0^tX_s(\Delta \varphi )\,ds+\theta \int_0^tX_s(\varphi )\,ds\\{}-\int_0^tX_s(L_s\varphi )\,ds+M_t(\varphi ).\end{eqnarray*} 这里 $L_s(x)$ 是与 $X$ 相关的局部时密度过程，而 $M_t(\varphi )$ 是一个二次变差为 $[M(\varphi )]_t=\int_0^tX_s(\varphi ^2)\,ds$ 的鞅。此类过程作为 SIR 传染病模型的标度极限出现。我们证明，对于维度 $d=2,3$，存在临界值 $\theta_c(d)\in(0,\infty)$，使得如果 $\theta>\theta_c(d)$，则解以正概率永远存活；但如果 $\theta<\theta_c(d)$，则解以概率 1 在有限时间内消亡。对于 $d=1$，我们证明对所有 $\theta$ 值，解几乎必然消亡。我们还证明，在维度 $d=2,3$ 中，对于任意 $\theta$ 值，该过程几乎必然局部消亡；即，对于任意紧集 $K$，过程 $X_t(K)=0$ 最终成立。