一类具有稳定分支的临界超过程的极限定理

我们考虑一个临界超过程 $\{X;\mathbf P_\mu\}$，其具有一般空间运动以及空间依赖的稳定分支机制，最低稳定指数为 $\gamma_0 > 1$。我们首先证明，在某些条件下，$\mathbf P_{\mu}(\|X_t\|\neq 0)$ 当 $t\to \infty$ 时收敛于 $0$，并且以指数 $(\gamma_0-1)^{-1}$ 正则变化。然后我们证明，对于一大类非负测试函数 $f$，分布 $\{X_t(f);\mathbf P_\mu(\cdot|\|X_t\|\neq 0)\}$ 在经过适当重标度后弱收敛于一个正随机变量 $\mathbf z^{(\gamma_0-1)}$，其拉普拉斯变换为 $E[e^{-u\mathbf z^{(\gamma_0-1)}}]=1-(1+u^{-(\gamma_0-1)})^{-1/(\gamma_0-1)}$。