迭代Kolmogorov环的半圆律与去相关现象

我们考虑时间区间$[0,1]$上标准一维布朗运动，其条件为直至$N$阶的迭代时间积分为零。我们证明所得过程可显式地用平移Legendre多项式与原布朗运动表示，并利用这些表示证明当$N\to\infty$时这些过程弱收敛于零过程。这给出了布朗运动的一种多项式分解。我们进一步研究通过乘以$\sqrt{N}$缩放所得的涨落过程，并证明当$N\to\infty$时它们在有限维分布上收敛于一组独立的零均值高斯随机变量，其方差服从缩放的半圆分布。该涨落结果是Legendre多项式极限定理的推论，该定理量化了它们的完备性与正交性。在后一定理的证明中，我们遇到了Catalan三角形。