GL_N 上布朗运动的波动

我们考虑一般线性群 $\mathbb{GL}_N$（即 $N\times N$ 可逆矩阵群）上的一个双参数酉不变扩散过程族，该族包含标准布朗运动以及通常的酉布朗运动作为特例。我们证明了所有此类过程在高维下均具有高斯波动，误差阶为 $O(1/N)$；这是针对过程在一大类称为迹多项式（trace polynomials）的测试函数下的有限维分布而言的。我们给出了高斯波动场协方差的显式刻画，该协方差可以用三个自由独立自由乘性布朗运动的固定泛函来描述。这些结果推广了 L\'evy 和 Ma"ida 以及 Diaconis 和 Evans 关于酉群的早期工作。我们的方法是几何的，而非组合的。