$\mathbb{GL}_N$ 上布朗运动的大 $N$ 极限

我们引入了一个双参数扩散过程族 $(B_{r,s}^N(t))_{t\ge 0}$（$r,s>0$），定义在一般线性群 $\mathbb{GL}_N$ 上，它们是相对于群上某些自然度量的布朗运动。同时，我们在一个忠实的、带迹的 $W^\ast$-概率空间中引入了一个双参数自由 Itô 过程族 $(b_{r,s}(t))_{t\ge 0}$，并证明了对于每个 $r,s>0$，当 $N\to\infty$ 时，全过程 $(B^N_{r,s}(t))_{t\ge 0}$ 在非交换分布意义上收敛于 $(b_{r,s}(t))_{t\ge 0}$。过程 $(b_{r,s}(t))_{t\ge 0}$ 在 $(r,s)=(1,0)$ 时的自由酉布朗运动与 $r=s=\frac12$ 时的自由乘法布朗运动之间进行插值；因此，我们解决了 Biane 于 1997 年提出的关于 $\mathbb{GL}_N$ 上布朗运动收敛性的开放问题。