Brown测度的支撑与自由乘性布朗运动

自由乘性布朗运动 $b_{t}$ 是一般线性群 $\mathrm{GL}(N;\mathbb{C})$ 上布朗运动 $B_t^N$ 的大-$N$ 极限。我们证明 $b_{t}$ 的 Brown 测度——它是矩阵经验特征值分布的类比——支撑在平面中某个特定区域 $\Sigma_{t}$ 的闭包上。该区域 $\Sigma_t$ 由 Biane 在 $\mathrm{GL}(N;\mathbb{C})$ 相关的 Segal--Bargmann 变换的大-$N$ 极限背景下引入。我们还考虑了一个双参数版本 $b_{s,t}$：由第二作者引入的 $\mathrm{GL}(N;\mathbb{C})$ 上一类相关扩散过程的大-$N$ 极限。我们证明 $b_{s,t}$ 的 Brown 测度支撑在某个平面区域 $\Sigma_{s,t}$ 的闭包上，该区域推广了 Ho 引入的 $\Sigma_t$。在此过程中，我们针对迹 von Neumann 代数中的任意算子引入了一族新的谱域：对 $n\in\mathbb{N}$ 和 $p\ge 1$ 的{\em $L^p_n$-谱}，它是相对于可能无界的逆所定义的普通谱的子集。我们证明，一般而言，一个算子的 Brown 测度支撑包含于其 $L_2^2$-谱中。