马尔可夫扰动、响应与涨落耗散定理

我们从数学角度考察统计物理中的涨落耗散定理（FDT）。我们在马尔可夫过程的一般框架下形式化了“线性响应函数”的概念。我们表明，对于非平衡过程，它不仅取决于给定的马尔可夫过程 $X(s)$，还取决于所选的扰动方式。我们刻画了给定马尔可夫过程的所有可能响应函数的集合，并表明在平衡态下它们都满足 FDT。也就是说，如果初始测度对于给定的马尔可夫半群是不变的，那么对于任意时间对 $s<t$ 以及性质良好的函数 $f,g$，耗散（即 $g(X(t))$ 与 $f(X(s))$ 协方差关于 $s$ 的导数）等于在时间 $t$ 沿方向 $g$ 的无穷小响应，该响应对应于任何在时间 $s$ 沿方向 $f$ 改变 $X(.)$ 不变测度的马尔可夫扰动。同样的结论适用于所谓的近平衡 FDT 机制，即在 $t-s$ 固定且 $s$ 趋于无穷的极限下，前提是 $X(s)$ 依分布收敛于其动力学的不变测度。我们给出了两种通用马尔可夫扰动的响应函数，随后针对离散空间上的纯跳过程、有限维扩散过程以及随机自旋系统对它们进行了比较和对照。