超临界超过程的骨架分解与大数定律

本文的目标有两个。首先，我们针对底层过程为一般对称Hunt过程的超过程，建立其骨架与脊分解。其次，我们利用这些分解得到超临界超过程的弱大数定律与强大数定律，其中空间运动是在局部紧度量空间 $E$ 上的对称Hunt过程，分支机制形如 $$\psi_{\beta}(x,\lambda)=-\beta(x)\lambda+\alpha(x)\lambda^{2}+\int_{(0,{\infty})}(e^{-\lambda y}-1+\lambda y)\pi(x,dy)$$，其中 $\beta\in\mathcal{B}_{b}(E)$，$\alpha\in \mathcal{B}^{+}_{b}(E)$，$\pi$ 为从 $E$ 到 $(0,{\infty})$ 的核，满足 $\sup_{x\in E}\int_{(0,{\infty})} (y\wedge y^{2}) \pi(x,dy)<{\infty}$。极限定理是在假设相关的薛定谔算子具有谱隙的条件下建立的。我们的结果涵盖了许多有趣的超过程例子，包括超Ornstein-Uhlenbeck过程和超稳定类过程。超临界超过程的强大数定律是在假设相关的超临界分支马尔可夫过程沿离散时间序列满足强大数定律的条件下获得的，这将Eckhoff、Kyprianou和Winkel [Ann. Probab.,43(5), 2594--2659, 2015] 关于超扩散过程的早期结果推广到了一大类超过程。这一结果的关键在于超过程的骨架分解，该分解将超过程表示为沿超临界分支马尔可夫过程的移民过程。