通过泊松交织的CSBP分解

我们通过半群交织的视角重新审视连续状态分支过程（CSBP）的某些分解，通常称为骨骼分解。精确地说，我们将一个具有分支机制 $\psi$ 的CSBP $X$ 与一个由参数 $\lambda \in (0, \infty)$ 索引的 $\mathbb{R}_+\times \mathbb{Z}_+$-值分支过程族 $(X^\lambda, L^\lambda)$ 关联起来，该过程族通过参数为 $\lambda x$ 的泊松核与 $X$ 满足交织关系。连续分量 $X^\lambda$ 与 $X$ 具有相同的分布，而离散分量 $L^\lambda$，在给定 $X^\lambda_t$ 的条件下，服从参数为 $\lambda X^\lambda_t$ 的泊松分布。$(X^\lambda, L^\lambda)$ 的分布取决于 $\lambda$ 在 $[0, \infty) = [0, \rho) \cup [\rho, \infty)$ 中的位置，其中 $\rho$ 是 $\psi$ 的最大正根。当 $\lambda \geq \rho$ 时，可以恢复关于骨骼分解的各种已知结果。在超临界情形（$\rho > 0$）中，当 $\lambda < \rho$ 时，出现了一种新现象：骨骼中出现一个出生项，对应于从连续分量到离散分量的单位比例迁移。在此过程中，构造了取值于 $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{Z}_+$ 的连续时间分支过程类。