$L^\infty$ 中 Riesz 变换问题的强不适定性

我们证明对于形如 $$\partial_t \omega + u\cdot\nabla\omega = R(\omega)$$ 的二维 Euler 方程线性扰动的 $L^{\infty}$ 强不适定性，其中 $R$ 为任意非平凡二阶 Riesz 变换。即我们证明存在光滑解，其初始在 $L^{\infty}$ 中很小，但在短时间内变得任意大。此前该方向的工作依赖于线性问题的强不适定性，将输运项视为扰动，仅导致温和增长。本文中我们推导了一个非线性模型，计入所有主导阶效应，以确定短时间解的精确逐点增长。有趣的是，Euler 输运项确实抵消了线性增长，使得完整非线性方程的增长比线性方程低一个数量级。特别地，我们建立的（尖锐）增长率与光滑解的全局正则性一致。