离散自相似分形形状的严格自组装

本文给出了一个（多项式时间）算法，用于判定给定的离散自相似分形形状是否可以在 aTAM 模型中组装。在肯定的情况下，该构造依赖于 aTAM 中的一个自组装系统，该系统严格组装一个特定的自相似分形形状，即 Sierpinski 地毯的一个变体 $K^\infty$。我们通过一种新工具——\emph{自描述电路}——证明了我们提出的 aTAM 是正确的，这种工具通常对于 aTAM 行为的严谨且可读的证明非常有用。然后我们讨论了哪些自相似分形可以在 aTAM 中严格自组装，哪些不能。结果表明，生成元迭代传递信息的能力是至关重要的：要么这种\emph{带宽}在两个基数方向上最终足够，并且 $K^\infty$ 在有限次迭代后出现在分形图案中；要么该带宽在一个方向上始终不足，并且任何试图自组装该形状的 aTAM 最终都将受到限制，其图案覆盖任意大的正方形并最终呈现周期性。这一结论得益于对产生式具有一致有界树宽的系统的产生式的新刻画。