拉伸凸域以捕获众多格点

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中严格凸域的最优拉伸问题，这些凸域关于每个坐标超平面对称，其中拉伸是指由行列式为 $1$ 的对角矩阵进行的变换。具体而言，我们证明在大体积极限下捕获最多正格点的拉伸凸域是平衡的：该域与每个坐标超平面的交集的 $(d-1)$ 维测度相等。我们的结果推广了 Antunes & Freitas、van den Berg、Bucur & Gittins、Ariturk & Laugesen、van den Berg & Gittins 以及 Gittins & Larson 的工作。该方法的动机来源于用于证明高斯圆问题经典 $\#\{(i,j) \in \mathbb{Z}^2 : i^2 +j^2 \le r^2 \} =\pi r^2 + \mathcal{O}(r^{2/3})$ 结果的傅里叶分析技术。