凹成本函数的策略证明设施选址

我们考虑$k$-设施选址博弈，其中$n$个策略性代理报告它们在实线上的位置，而机制将它们映射到$k$个设施。每个代理旨在最小化其连接成本，该成本由其到最近设施距离的非负递增函数给出。与主要考虑恒等成本函数的先前工作不同，我们关注的是无需支付且对任何给定成本函数具有（群体）策略证明性的机制，并能实现社会成本和/或代理最大成本的良好近似比。我们提出了一种称为 Equal Cost 的随机机制，该机制具有群体策略证明性，并且对于任何给定的凹成本函数，在所有$k$和$n$的情况下都能实现有界的近似比。其最大成本的近似比至多为 2，社会成本的近似比至多为$n$。据我们所知，这是第一个针对$k > 2$个设施且任意数量代理实例具有有界近似比的机制。我们的结果揭示了确定性机制与随机机制之间有趣的分离：当$k$从 2 增加到 3 时，确定性机制的最大成本近似比从 2 跃升至无界，而随机机制的近似比对所有$k$均保持在 2 以内。在负面结果方面，我们排除了存在具有 Equal Cost 性质且适用于严格凸成本函数的机制的可能性。我们还提出了一种称为 Pick the Loser 的随机机制，适用于具有$k$个设施和$n = k+1$个代理的实例，对于任何给定的凹成本函数，该机制具有强群体策略证明性，并实现 2 的社会成本近似比。