策略证明设施定位的近似最优机制：最小化成本的 $L_p$ 范数

我们考虑在实线上定位单个设施的问题。该设施服务于一组代理，每个代理位于该线上，并承担等于其到设施距离的成本。代理的位置是仅知其自身的私有信息。代理向中央规划者报告其位置，由规划者决定设施的选址。规划者的目标是最小化依赖于代理成本的“社会”成本函数。然而，代理可能不会如实报告；为解决此问题，规划者必须限制自己使用{\em 策略证明}机制，在其中如实报告是每个代理的占优策略。简单选择最优解的机制通常不是策略证明的，因此规划者希望使用一种能有效{\em 近似}其目标函数的机制。在本文中，我们研究上述问题，其中社会成本函数为代理成本向量的 $L_p$ 范数。我们表明，中值机制（已知是策略证明的）提供了 $2^{1-\frac{1}{p}}$ 的近似比，且这是所有确定性策略证明机制中的最优近似比。对于随机机制，我们提出两个结果。首先，我们给出一个否定结果：对于整数 $\infty>p>2$，来自相当大一类随机机制中的任何机制，其近似比均无法优于中值机制。这与 $p=2$ 和 $p=\infty$ 的情况形成对比，在后两种情况下，随机机制被证明有助于改善最坏情况近似比。其次，针对 2 个代理的情况，我们表明一种称为 LRM 的机制（最初由 Procaccia 和 Tennenholtz 为 $L_{\infty}$ 特例设计）在所有随机机制中提供了最优近似比。