L_p 空间中双主体单设施选址确定性防策略机制近乎完备的刻画

我们考虑在 $L_p$ 空间（$1<p<\infty$）中为 2 个主体选址单个设施的问题，并给出此类确定性防策略机制的近乎完备刻画。我们用主体与设施在 $L_p$ 空间中的距离表示主体的成本。若任何主体均无法通过谎报其私有位置来降低成本，则该机制是防策略的。我们证明，在具有 2 个主体的 $L_p$ 空间（$1<p<\infty$）中，任何确定性、一致、平移不变防策略机制的位置输出必满足一组方程，且机制是连续、可缩放的。在一维空间中，输出必为某一主体的位置，这在任意 $n$ 个主体下易证。然而，在 $m$ 维空间（$m\ge 2$）中，情况将复杂得多，目前仅完成了 2-主体情形。我们证明此类机制的输出必满足一组方程，且当 $p=2$ 时输出必位于以两主体连线为直径的圆球上。进一步，对于 $n$-主体情形，我们发现 2-主体情形的简单推广在维度 $m>2$ 时不能成立，并证明著名的一般中位数机制会给出一个反例。特别地，在具有 2 个主体的 $L_2$（即欧氏）空间中，此类机制是旋转不变的当且仅当它是独裁的；且此类机制是匿名的当且仅当它是第 4 节中三种机制之一。我们的工具意味着，在任何多维空间中，此类机制对最大成本具有 2-近似的紧下界。