分数 Cox-Ingersoll-Ross 过程的随机表示与逐向性质

我们考虑满足随机微分方程（SDE）$dX_t = aX_t\,dt + \sigma \sqrt{X_t}\,dB^H_t$ 的分数 Cox-Ingersoll-Ross 过程，该过程由 Hurst 参数超过 $\frac{2}{3}$ 的分数布朗运动（fBm）驱动。积分 $\int_0^t\sqrt{X_s}dB^H_s$ 被视为逐向积分，并等于 Riemann-Stieltjes 积分和的极限。我们证明，在首次到达零点之前，分数 Cox-Ingersoll-Ross 过程是分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程的平方。基于此，我们考虑具有任意 Hurst 指数的分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程的平方，并证明在首次到达零点之前，如果积分 $\int_0^t\sqrt{X_s}\,dB^H_s$ 被定义为逐向 Stratonovich 积分，则它满足指定的 SDE。因此，关于 Cox-Ingersoll-Ross 过程首次到达零点时刻的问题（与分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程首次到达零点时刻相一致）是自然的。由于后者是高斯过程，通过高斯过程分布的估计可以证明，当 $a<0$ 时在有限时间内到达零点的概率等于 1，而当 $a>0$ 时该概率为正且小于 1。我们给出了该概率的上界。