参数化线性椭圆偏微分方程的随机 Galerkin 降基方法
数值分析
2020-05-12 v2 数值分析
摘要
我们考虑具有参数化随机与确定性输入的椭圆边值问题（BVPs）中函数输出的参数相关统计量的估计。对于给定的确定性参数值，随机 Galerkin 有限元（SGFE）方法可以以求解一个大型块结构线性方程组的代价估计线性输出的相应期望与方差。我们提出一种随机 Galerkin 降基（SGRB）方法，作为在需要大量确定性参数查询的统计输出时降低计算负担的手段。我们的工作假设是，我们能够获得必要的计算资源，为参数相关 BVP 的空间-随机弱形式建立此类降阶模型。为推导 SGRB 模型，我们将参数相关 SGFE 模型的空间-随机弱解投影到由参数代表性取值处 SGFE 解的快照生成的 POD 降基上。我们提出了参数相关线性泛函输出期望与方差的残差修正估计，并给出相应的可计算误差界。~我们以对流-扩散-反应问题对 SGRB 方法进行了数值测试，选取对流速度为确定性参数，参数化反应率场为随机输入。与嵌入 Monte Carlo 采样过程的标准降基模型相比，SGRB 模型需要相近数量的降基函数以满足给定容差要求。然而，对于新的确定性参数值，仅需运行一次 SGRB 模型即可估计统计输出，而标准降基模型必须对每个 Monte Carlo 样本进行求解。
引用
@article{arxiv.1812.08519,
title = {Stochastic Galerkin reduced basis methods for parametrized linear elliptic partial differential equations},
author = {Sebastian Ullmann and Christopher Müller and Jens Lang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1812.08519},
year = {2020}
}