具有随机系数的参数化偏微分方程的随机伽辽金逼近的显式代价界
数值分析
2020-01-22 v2
摘要
本工作分析了随机伽辽金有限元方法 (SGFEM) 在逼近具有仿射和非仿射随机系数的参数化椭圆型偏微分方程解时的整体计算复杂度。为计算全离散解，此类方法在确定性和随机域中均采用伽辽金投影，这里分别由有限元和定义在各向同性全次数指标集上的全局正交基组合产生。为考虑所得系统的稀疏性，我们给出了一个严格的代价分析，该分析考虑了 SGFEM 中必须同时求解的耦合有限元系统的总数。然而，为了在系数对参数化的非线性程度增加时保持稀疏性，还需要通过额外的正交展开来近似系数。在这种情况下，我们证明了耦合系统每次矩阵-向量乘法所需浮点运算次数 (FLOPs) 的严格复杂度估计。基于这些复杂度估计，我们还推导了以给定容差求解随机伽辽金 (SG) 系统所需的显式 FLOPs 代价界，并将其与我们先前工作 [16] 中展示的随机配点有限元方法 (SCFEM) 的最小复杂度估计进行比较。最后，计算证据补充了理论估计，并支持我们的结论：在系数为仿射的情况下，耦合 SG 系统可以比解耦 SC 系统更高效地求解。然而，随着系数非线性程度的增加，使用 SGFEM 获得近似解的代价将变得极其高昂。
引用
@article{arxiv.1507.05545,
title = {Explicit cost bounds of stochastic Galerkin approximations for parameterized PDEs with random coefficients},
author = {Nick Dexter and Clayton Webster and Guannan Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1507.05545},
year = {2020}
}