用于 Beta 分布及其推广的可交换对 Stein 方法

我们提出了可交换对 Stein 方法的一个新版本，给定一对合适的实值随机变量可交换对 $(W,W')$，该方法建议用合适的绝对连续分布来近似 $W$ 的分布律。该分布由一阶线性微分 Stein 算子刻画，其系数 $\gamma$ 和 $\eta$ 由对 $(W,W')$ 满足的两个回归性质所启发。此外，开发了针对此类绝对连续分布的 Stein 方法一般理论，给出了一般刻画结果以及 Stein 方程解的一般界。这种抽象方法是对文献 \cite{ChSh} 和 \cite{EiLo10} 中发展的理论的某种扩展，后者仅考虑密度方法的框架，即 $\eta\equiv1$。作为我们技术的示例，我们证明了一个通用的代入结果，该结果根据给定的可交换对 $(W,W')$ 界定了给定随机变量 $W$ 的分布与 Beta 分布之间的某种距离，并为 Beta 分布的 Stein 方程解提供了新的界，补充了 \cite{GolRei13} 中的现有界。随后应用该抽象代入结果，推导了 P\'olya 瓮模型中 $n$ 次抽取后红球相对数量的分布与极限 Beta 分布之间距离的 $n^{-1}$ 阶界，该距离由一类光滑测试函数度量。