基于可交换对的Stein方法的非正态逼近及其在Curie-Weiss模型中的应用

设$(W,W')$为一可交换对。假设$$E(W-W'|W)=g(W)+r(W),$$其中$g(W)$为主项，$r(W)$为可忽略项。令$G(t)=\int_0^tg(s)\,ds$并定义$p(t)=c_1e^{-c_0G(t)}$，其中$c_0$为适当选取的常数，$c_1=1/\int_{-\infty}^{\infty}e^{-c_0G(t)}\,dt$。设$Y$为具有概率密度函数$p$的随机变量。本文证明，当给定$W$时$(W-W')$的条件二阶矩满足大数定律时，$W$依分布收敛于$Y$。同时给出了Berry-Esseen型界。我们利用这一技术，在临界温度下Curie-Weiss铁磁体的磁化强度的非中心极限定理中，得到了阶为$1/\sqrt{n}$的Berry-Esseen误差界。此外，还讨论了指数逼近在Bernoulli-Laplace马尔可夫链谱中的应用。