二维稳态几乎不可压缩向量场：链式法则与重整化

给定有界向量场 $b : \mathbb R^d \to \mathbb R^d$、标量场 $u : \mathbb R^d \to \mathbb R$ 和光滑函数 $\beta : \mathbb R \to \mathbb R$，我们研究分布 $\mathrm{div}(\beta(u)b)$ 用 $\mathrm{div}\, b$ 和 $\mathrm{div}(u b)$ 的刻画。在 $BV$ 向量场 $b$（及一些额外假设）下，L. Ambrosio、C. De Lellis 和 J. Mal\'y 得到了这样的刻画，但有一个误差项集中在 $b$ 的所谓切向集上。我们回答了他们的论文中关于这个项性质的一些问题。特别地，我们构造了一个几乎不可压缩的 $BV$ 向量场 $b$ 和一个有界函数 $u$，使得这个项非零。对于稳态几乎不可压缩向量场 $b$（及一些额外假设），在 $d=2$ 的情况下，我们给出了 $\mathrm{div}(\beta(u) b)$ 用 $\mathrm{div}\, b$ 和 $\mathrm{div}(u b)$ 的完整刻画。我们的方法依赖于 G. Alberti、S. Bianchini 和 G. Crippa 得到的 $\mathrm R^2$ 上 Lipschitz 函数水平集的结构。扩展我们的技术，我们得到了新的充分条件，使得任何有界弱解 $u$ 满足 $\partial_t u + b \cdot \nabla u=0$ 是重整化的，即也满足 $\partial_t \beta(u) + b \cdot \nabla \beta(u)=0$ 对任何光滑函数 $\beta$ 成立。作为推论，我们得到了该方程新的唯一性结果。