关于 Sobolev 向量场散度链式法则的失效

我们构造了一大类具有 Sobolev 正则性的不可压缩向量场，在维数 $d \geq 3$ 时，其链式法则问题具有否定答案。特别地，对于任意重正规化映射 $\beta$（满足适当假设）以及任意形如 $T = {\rm div}\, h$ 的（分布意义下）重正规化缺陷 $T$（其中 $h$ 为 $L^1$ 向量场），我们可以构造一个不可压缩 Sobolev 向量场 $u \in W^{1, \tilde p}$ 和一个密度 $\rho \in L^p$，使得 ${\rm div}\, (\rho u) =0$ 但 ${\rm div}\, (\beta(\rho) u) = T$，只要 $1/p + 1/\tilde p \geq 1 + 1/(d-1)$。