一维黎曼漫步的统计性质

黎曼漫步是 Levy 飞行的格点版本。我们研究了 Levy 指数为 0<\alpha<2 的一维黎曼漫步中，经过 t 步后所访问节点集合（即支持集）的统计特性。我们考虑了一类与支持相关的可观测量 M(t)，包括访问节点数 S(t) 和访问节点序列数 I(t)。在 t->\infty 时，我们获得了这些可观测量的平均值、方差及相关性的渐近幂律。当 \alpha=2/3 和 \alpha=1 时，出现对数修正因子。对于 1<=\alpha<2，块态和表面态可观测量具有不同的幂律。我们展示了在 2/3<=\alpha<2 时，涨落是普适的。这意味着在 t->\infty 时，偏离平均值的 \Delta M(t) 完全由以下两种情况之一描述：(i) 2/3<=\alpha<=1 时，由单个与 M 无关的随机过程描述；(ii) 1<\alpha<2 时，由两个此类随机过程描述，其中一个用于块态可观测量，另一个用于表面态可观测量。