高斯马尔可夫过程占用时间的统计性质

我们重访了 Dhar 和 Majumdar 在 1999 年对时间均值 $M_{t}=t^{-1}\int_{0}^{t}du \sign y_{u}$ 的极限分布研究 [Phys. Rev. E 59, 6413 (1999)]，其中 $y_{t}$ 是一个取决于参数 $\alpha$ 的高斯马尔可夫过程，可将其解释为时间尺度为 $t^{\prime}=t^{2\alpha}$ 下的布朗运动。该均值（短称为“磁化程度”）与过程的占用时间密切相关，即过程在时刻 t 之前位于原点某侧的时间长度。利用过程符号变化间隔在时间尺度 $t^{\prime}$ 下形成再生过程这一事实，我们递归地求得均值磁化程度的各阶矩。我们还发现了 $M_{t}$ 分布的积分方程。这使得我们能够对该分布在持久性区域 $(M_t\to\pm1)$ 进行局部分析，以及在 $\alpha$ 较大时进行渐近分析。最后，我们将所得结果与 Dhar 和 Majumdar 另一种方法（基于 Kac 形式主义）得到的结果进行了比较。