$p$-Laplace方程的平稳解与连接轨道

我们处理一维 $p$-Laplace方程，形式为 $$u_t = (|u_x|^{p-2} u_x )_x + f(x,u), \ x\in (0,l), \ t>0,$$ 在Dirichlet边界条件下，其中 $p>2$ 且 $f\colon [0,l]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是连续函数且 $f(x,0)=0$。我们将证明如果在 $\lim_{u\to 0} f(x,u)/|u|^{p-2}u$ 和 $\lim_{|u|\to +\infty} f(x,u)/|u|^{p-2}u$ 之间存在至少一个 $p$-Laplace算子的特征值，则存在非平凡平稳解。此外我们展示平稳解之间连接轨道的存在性。结果通过使用Conley型同伦指标和沿 $p$ 的延拓技术获得。我们得到了比使用不动点指标更强的结论，并且额外得到了连接轨道的存在性。