状态与控制路径依赖随机零和微分博弈：路径依赖 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程的粘性解

本文考虑状态与控制路径依赖的随机零和微分博弈，其中动力学和运行代价包含博弈双方的状态路径与控制路径。利用非预期策略的概念，我们定义下值和上值泛函，它们是博弈双方初始状态路径与控制路径的函数。我们证明值泛函满足动态规划原理。由动态规划原理导出的相关下、上 Hamilton-Jacobi-Isaacs（HJI）方程是状态与控制路径依赖的非线性二阶偏微分方程。我们应用泛函 It\^o 微积分证明下值和上值泛函是（下、上）状态与控制路径依赖 HJI 方程的粘性解，其中粘性解的概念定义在 \cite{Tang_DCD_2015} 中引入的 $\kappa$-H\"older 空间的紧子集上。此外，我们表明 Isaacs 条件和粘性解的唯一性意味着博弈值存在。对于状态路径依赖情形，我们证明了（状态路径依赖）HJI 方程经典解的唯一性。