无 Isaacs 条件的零和随机微分博弈中的混合策略值

在本文中，我们考虑双人零和随机微分博弈，其非线性支付泛函通过后向随机微分方程定义。我们的主要目标是研究此类博弈在无 Isaacs 条件下值的存在性问题。毫不奇怪，这需要一种合适的混合策略概念，据作者所知，该概念在随机微分博弈背景下尚未被提出。为此，我们考虑通过时间区间 $[0,T]$ 的划分 $\pi$ 定义的具有延迟的非预期策略。双方玩家的基础随机控制沿 $\pi$ 通过与控制布朗运动独立的风险进行随机化，并且已知由 $\pi$ 生成的子区间左端点 $t_{j-1}$ 处的可用信息，玩家 1 和玩家 2 的控制在 $[t_{j-1},t_j)$ 上是条件独立的。研究表明，当 $\pi$ 的网格趋于零时，相关的下值函数 $W^{\pi}$ 和上值函数 $U^{\pi}$ 在紧集上一致收敛于一个函数 $V$，即所谓的混合策略值。该函数 $V$ 被刻画为相关 Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs 方程的唯一粘性解。