半线性偏微分方程的稳定化及离散化下的均匀衰减

这些笔记源自作者于2015年6月在Chambéry暑期学校所做的短课程。我们考虑一般的半线性偏微分方程，并探讨以下两个问题：1) 如何设计高效的反馈控制，使方程局部渐近稳定到0？2) 如何从近似格式构造此类稳定化反馈？为解决这些问题，我们区分抛物型与双曲型半线性偏微分方程。所谓抛物型，是指系统底层的线性算子生成解析半群。所谓双曲型，是指该算子是斜自伴的。我们首先回顾一般结果，使得在能为线性部分构造李雅普诺夫函数时，将非线性项视为可被吸收的扰动。我们特别回顾取自里卡蒂理论的一些已知结果。然而，由于里卡蒂算子的数值实现计算量大，我们随后聚焦于能否设计“简单”反馈的问题。对于抛物型方程，我们描述一种方法，其基于整个系统的小型有限维（谱）近似来设计稳定化反馈。对于双曲型方程，我们聚焦于简单线性或非线性反馈，并研究获得精确衰减结果的问题。当考虑离散化格式时，连续模型中所获衰减通常无法在离散模型中保持，我们探讨在数值格式中加入适当黏性项以恢复均匀衰减的问题。我们考虑空间、时间以及完全离散化，并特别报告文献中取得的最新结果。最后，我们描述若干开放问题。