射影 Poincar\'{e} 丛与 Picard 丛的稳定性

设 $X$ 为定义在复数域上的亏格 $g\ge3$ 的不可约光滑射影曲线，令 ${\mathcal M}_\xi$ 表示 $X$ 上秩为 $n$ 且行列式为 $\xi$ 的稳定向量丛的模空间，其中 $\xi$ 是固定的次数为 $d$ 的线丛。若 $n$ 和 $d$ 有公因子，则 $X\times {\mathcal M}_\xi$ 上不存在万有向量丛。我们证明了 $X\times {\mathcal M}_\xi$ 上存在一个射影丛，其限制在 $X\times\{E\}$ 上同构于 $P(E)$（对所有 $E\in\mathcal{M}_\xi$），并且该丛（称为射影 Poincar\'{e} 丛）关于任意极化都是稳定的；此外，其对 $\{x\}\times\mathcal{M}_\xi$ 的限制对任意 $x\in X$ 也是稳定的。我们还证明了由射影 Poincar\'{e} 丛通过同态 $\text{PGL}(n)\to H$ 诱导出的丛（对任意约化群 $H$）的稳定性结果。我们进一步表明，对于任意 $d>n(g-1)$，在 $\mathcal{M}_\xi$ 的某个开子集 $\mathcal{M}'$ 上存在一个射影 Picard 丛，且该丛也是稳定的。即使当 $n$ 和 $d$ 互素时，我们也获得了关于 Picard 丛稳定性的新结果。