图中的影响传播

考虑图 $G$ 与初始配置，其中每个节点为黑或白。假设每轮所有节点基于预定义规则同时更新其颜色。可将图 $G$ 视为社交网络，其中每个黑/白节点代表对特定话题持正/负意见的个体。在 $r$ 阈值（相应 $\alpha$ 阈值）模型中，若至少 $r$ 个邻居（相应 $\alpha$ 比例的邻居）为黑，则节点变黑，否则变白。$r$ 单调（相应 $\alpha$ 单调）模型与 $r$ 阈值（相应 $\alpha$ 阈值）模型相同，除黑节点永远保持黑色外。该过程需要多少轮稳定？最初必须有多少黑节点以使黑色接管或存续？本文主要目标即解决这两个问题。