Erdos-Renyi 随机图与扩张图上的观点形成

假设对于图 $G=(V,E)$ 及一个初始配置（每个节点为蓝色或红色），在每一个离散时间轮次中所有节点同时将其颜色更新为其邻域中最频繁出现的颜色，若平局则保持原色。我们研究这一称为多数模型的基本过程在二项随机图 $\mathcal{G}_{n,p}$ 与正则扩张图上的行为。首先，我们考虑多数模型在具有初始随机配置的 $\mathcal{G}_{n,p}$ 中的行为，其中每个节点以概率 $p_b$ 独立地为蓝色，否则为红色。研究表明，在此设定下该过程在连通性阈值即 $\frac{\log n}{n}$ 处经历相变。此外，我们讨论多数模型在正則扩张图上是“良好”且“快速”的密度分类器。更确切地说，我们证明若 $n$ 节点 $\Delta$-正则图的邻接矩阵的第二大绝对特征值充分小于 $\Delta$，则多数模型从 $(\frac{1}{2}-\delta)n$ 个蓝色节点（对任意小的常数 $\delta>0$）出发，会在亚对数轮次内导致全红配置。作为我们结果的副产品，我们证明 Ramanujan 图是渐近最优免疫的，即对于 $n$ 节点 $\Delta$-正则 Ramanujan 图，若初始蓝色节点数为 $s\leq \beta n$，则下一轮蓝色节点数至多为 $\frac{cs}{\Delta}$（对某个常数 $c,\beta>0$）。这解决了 Peleg 提出的一个开放问题。