忽略还是遵从？论共识中的对称性破缺

我们研究$n$个节点完全图上的共识过程。初始时，每个节点支持最多$n$种意见中的一种。节点随机且并行地采样常数多个节点的意见。基于这些样本，它们使用更新规则改变自身意见。目标是达到共识，即所有节点支持同一意见的配置。我们比较两种著名的更新规则：2-Choices和3-Majority。前者中，每个节点采样两个节点，若它们一致则采纳其意见。后者中，每个节点采样三个节点：若某意见得到至少两个样本支持，该节点采纳之，否则随机采纳一个被采样意见。这些更新规则的已知结果聚焦于具有有限颜色数（如$n^{1/3}$）的初始配置，或通常假设一种偏置，即一个意见的支持远多于其他任何意见。对于此类偏置配置，达到共识的时间对于2-Choices和3-Majority大致相同。有趣的是，我们证明对于具有大量初始颜色的配置这不再成立。特别地，我们证明3-Majority以高概率在$O(n^{3/4}\log^{7/8}n)$轮内达到共识，而2-Choices可能需要$\Omega(n/\log n)$轮。因此我们获得了3-Majority的第一个无条件次线性界，以及分离这些过程共识时间的首个结果。在此过程中，我们开发了一个框架，允许对特定类别的共识过程进行细粒度比较。我们相信该框架可能有助于分类更多共识过程的性能。