自旋替换的谱理论

我们在 $\mathbb{Z}^m$ 中引入量子比特替换（qubit substitutions），其具有基于 $\mathbb{Z}^m$ 的自同态 $Q$ 和 $\mathbb{Z}^m/Q\mathbb{Z}^m$ 的陪集代表集 $\mathcal{D}$ 的非矩形定义域。随后我们聚焦于一类特定的量子比特替换，称之为自旋替换（spin substitutions），其组合定义需要一个有限阿贝尔群 $G$ 作为自旋群。我们研究底层子移位 $(\Sigma,\mathbb{Z}^m)$ 的谱理论。在某些假设下，我们证明其测度论同构于 $m$ 维里程计（odometer）的群扩张，这诱导了函数空间 $L^{2}(\Sigma,\mu)$ 的完全分解。这使得能够利用 $\widehat{G}$ 中的群特征标导出替换因子，并在特定子空间上进行谱分析。我们给出了纯点、绝对连续和奇异连续谱测度存在的通用充分条件，以及对其谱重数的某些估计。