映射 $x \mapsto kx$ (mod $\mathbb Z$) 周期轨道的组合类型

我们研究圆的标准覆盖自同态 ${\mathbf m}_k(x)=k x \ (\text{mod} \ {\mathbb Z})$（整数 $k \geq 2$）的周期轨道的组合类型及其出现的频率。对于置换群 ${\mathcal S}_q$ 中的任意 $q$-循环 $\sigma$，我们完整描述了实现 $\sigma$ 的 ${\mathbf m}_k$ 的周期 $q$ 轨道集合，并特别统计了此类轨道的数量。该描述基于称为“不动点分布”向量的不变量，并通过将实现问题归约为寻找关联马尔可夫链的平稳状态而达成。我们的结果推广了关于 $\sigma$ 为旋转循环的特例的早期工作，并可视为恰当理解次数 $\geq 3$ 的复多项式映射动力学及其参数空间结构所缺失的组合要素。