de Branges 空间中的谱合成

我们完全解决了 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$ 中再生核的谱合成问题。具体而言，我们描述了这样的 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$：其所有再生核的 $M$-基（即具有完全双正交系 $\{g_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 的完备且极小系 $\{k_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$）均为强 $M$-基（即每个混合系 $\{k_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda\setminus\tilde \Lambda} \cup\{g_\lambda\}_{\lambda\in \tilde \Lambda}$ 也是完备的）。令人惊讶的是，这一性质仅出现在两类本质不同的 de Branges 空间中：具有有限谱测度的空间，以及同构于整函数 Fock 型空间的空间。第一类可追溯至 de Branges 本人，第二类则出现在 A. Borichev 和 Yu. Lyubarskii 最近的工作中。此外，我们能够用 $\mathcal{H}(E)$ 的谱数据对第二类空间给出完整刻画。另外，我们获得了关于固定 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$ 中混合系可能余维数的一些结果，并证明了 $\mathcal{H}(E)$ 中任何再生核的极小系都包含在一个精确的再生核系中。