谱正性与黎曼覆盖

设 $(M,g)$ 为完备非紧黎曼流形。我们考虑形如 $\Delta_g + V$ 的算子，其中 $\Delta_g$ 是与度量 $g$ 相关联的非负拉普拉斯算子，$V$ 为局部可积函数。设 $\rho : (\hat{M},\hat{g}) \to (M,g)$ 为黎曼覆盖，其拉普拉斯算子为 $\Delta_{\hat{g}}$，势为 $\hat{V} = V \circ \rho$。如果算子 $\Delta + V$ 在 $(M,g)$ 上非负，则算子 $\Delta_{\hat{g}} + \hat{V}$ 在 $(\hat{M},\hat{g})$ 上非负。在本文中，我们证明只要 $\pi_1(\hat{M})$ 是 $\pi_1(M)$ 的余顺从子群，则其逆命题成立。