齐次Boltzmann方程低概率尾部的谱计算

我们应用 Gamba 与 Tharkabhushanam 的谱-拉格朗日方法求解齐次 Boltzmann 方程，以计算粒子物种速度分布函数 $f$ 的低概率尾部。该方法基于 Boltzmann 碰撞算子 $Q(f,f)$ 的截断 $Q^{\operatorname{tr}}(f,f)$，其傅里叶变换由加权卷积给出。该截断碰撞算子模拟两个碰撞粒子若相对速率超过阈值 $g_{\text{tr}}$ 则彼此忽略的情形。我们证明截断参数的选择对 $Q$ 数值计算的精度起关键作用。值得注意的是，若 $g_{\text{tr}}$ 过大，则加权卷积积分的精确数值计算不可行，因为卷积权函数的衰减率与振荡程度均随 $g_{\text{tr}}$ 增大而增加。我们假设两算子均被精确计算，推导了 $Q$ 与 $Q^{\text{tr}}$ 间逐点误差的上界。该界为谱-拉格朗日方法提供了额外的理论依据，并可用于指导数值计算中 $g_{\text{tr}}$ 的选择。随后我们展示如何选择 $g_{\text{tr}}$ 与数值离散参数，使截断碰撞算子在低概率尾部成为 $Q$ 的良好近似。最后，针对若干不同初始条件，我们展示了将速度概率密度函数的时间演化精确计算至 $10^{-5}$ 到 $10^{-9}$ 量级概率密度水平的可行性。