用于非平衡统计态碰撞模型的谱 - 拉格朗日方法

我们提出了一种新的基于谱拉格朗日的确定性求解器，用于求解具有变硬势 (VHP) 碰撞核且包含保守或非保守二元相互作用的非线性玻尔兹曼输运方程。该方法基于碰撞积分傅里叶变换的对称性，将其计算复杂度降低为对单位球面 $S^2$ 的独立积分。此外，通过拉格朗日约束强制矩守恒。由此产生的方案在自由空间中实现，具有极高的通用性，并能以非常简单的方式适应多种情况，包括由于局部微观可逆性（非弹性相互作用）导致的能量耗散，或减速过程的弹性模型。我们的模拟通过与可用的精确自相似解、精确矩方程以及针对弹性和非弹性 VHP 相互作用的均匀玻尔兹曼方程的解析估计进行基准测试。模拟的基准测试涉及选择数值分布函数的时间自相似重缩放，这是利用麦克斯韦分子方程的连续谱进行的，该谱首先在 \cite{asympGranular} 中研究，并在 \cite{BCG} 中推广到广泛的相关模型。该方法在非弹性扩散玻尔兹曼方程（热浴下的非弹性碰撞）的硬球情况下也产生了准确的结果，其中随机方法计算中推测的过占据非高斯指数尾部已在 \cite{diffGran} 和 \cite{highEnergyTails} 中得到严格证明。