一族 LCM 矩阵的谱渐近性

我们考虑由 $$E(\sigma,\tau)=\left\{\frac{n^\sigma m^\sigma}{[n,m]^\tau}\right\}_{n,m=1}^\infty,$$ 显式给出的算术矩阵族，其中 $[n,m]$ 是 $n$ 与 $m$ 的最小公倍数，实参数 $\sigma$ 和 $\tau$ 满足 $\rho:=\tau-2\sigma>0$、$\tau-\sigma>\frac12$ 且 $\tau>0$。我们证明 $E(\sigma,\tau)$ 是 $\ell^2({\mathbb N})$ 上的紧自伴正定算子，且 $E(\sigma,\tau)$ 的特征值有序序列服从渐近关系 $$\lambda_n(E(\sigma,\tau))=\frac{\varkappa(\sigma,\tau)}{n^\rho}+o(n^{-\rho}), \quad n\to\infty,$$ 其中某个 $\varkappa(\sigma,\tau)>0$。我们将此事实应用于具有由 Riemann zeta 函数在横坐标为 $\sigma<1/2$ 的竖直线处所给符号的截断乘性 Toeplitz 矩阵奇异值的渐近性。我们还指出了 $E(\sigma,\tau)$ 的谱分析与广义素数系统理论之间的联系。