沿 $\mathrm{Re}\tau={1}/{2}$ 的 Lam\'e 算子谱：亏格 $3$ 情形

本文研究 Lam\'e 算子 \begin{equation*}L=\frac{d^2}{dx^2}-12\wp(x+z_0;\tau)\quad \text{in}\;\;L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C}), \end{equation*} 的谱 $\sigma(L)$，其中 $\wp(z;\tau)$ 是周期为 $1$ 和 $\tau$ 的 Weierstrass 椭圆函数，且 $z_0\in\mathbb{C}$ 的选取使得 $L$ 在 $\mathbb{R}$ 上无奇点。我们证明，点 $\lambda\in \sigma(L)$ 是不同谱弧的交点但不是谱多项式零点，当且仅当 $\lambda$ 是以下三次多项式的零点：\begin{equation*} \frac{4}{15} \lambda^3+\frac{8}{5}\eta_1 \lambda^2-3g_2 \lambda+9g_3-6\eta_1 g_2=0. \end{equation*} 我们还研究了当 $\tau=\frac{1}{2}+ib$ 且 $b>0$ 变化时谱的变形。我们发现了当 $b$ 在谱多项式的双重零点附近变化时，谱图的 $7$ 种不同类型。