与长度谱相关的谱

我们展示了如何将Sormani-Wei的覆盖谱（CS）扩展为两个谱，称为扩展覆盖谱（ECS）和邻近谱（ES），它们对黎曼流形而言是新的，但在Peano连续统的任意度量上均有定义且具备有用性质。我们通过两种不同方式度量Sormani-Wei的$\delta$-覆盖的拓扑推广（称为“邻近覆盖”）的“大小”来实现这一点。对于维数至少为3的黎曼流形$M$，我们将邻近覆盖刻画为对应于$\pi_{1}(M)$有限子集的正规闭包的那些覆盖。我们证明CS$\subset$ES$\subset$MLS，且对黎曼流形这些包含关系可能严格成立，其中MLS是其自由同伦类中最短的曲线的长度集合。我们给出了所有这些谱的等价定义，这些定义实际上不涉及曲线长度。特别令人感兴趣的是分形上的电阻度量，其中不存在非常数的可求长曲线，但存在合理的拉普拉斯谱（LaS）概念。本文为关于LaS与从黎曼流形到电阻度量空间的一系列空间的长度谱子集之间关系的问题开辟了新前沿。