Kähler流形上的特殊Ricci-Hessian方程

由Maschler [Ann. Global Anal. Geom. 34 (2008), 367--380]定义的Kähler流形 $(M,g)$ 上的特殊Ricci-Hessian方程涉及 $M$ 上的函数 $\tau$，并表述为：对实变量 $\tau$ 的某个函数 $\alpha$，$\alpha\nabla d\tau$ 与Ricci张量之和等于零化度量的一个函数倍，而 $\alpha\nabla d\tau$ 本身几乎处处非零。三个众所周知的明显“标准”情形由（非爱因斯坦的）梯度Kähler-Ricci孤立子、共形爱因斯坦Kähler度量以及特殊Kähler-Ricci势给出。我们证明，在这三种情形之外，此类方程只能出现在复二维情形，并且在一般点处必为三种类型之一，在适当规范化下分别为 $\alpha=2\cot\tau$、$\alpha=2\coth\tau$ 或 $\alpha=2\tanh\tau$。我们还利用Cartan-Kähler定理证明这三种类型确实以“非标准”方式实现。