关于辛群 $Sp(2g, \mathbb{Z})$ 的一些注记

设 $G=\Sp(2g,\mathbb{Z})$ 为整数环上的辛群。给定 $m\in \mathbb{N}$，自然的问题是是否存在一个非平凡矩阵 $A\in G$ 使得 $A^{m}=I$，其中 $I$ 是 $G$ 中的单位矩阵。在本文中，我们确定了上述问题有解时 $m\in \mathbb{N}$ 的可能取值。我们还证明了 $G$ 中元素的最大阶存在一个上界。作为示例，我们将结果应用于群 $\Sp(4,\mathbb{Z})$ 并确定了其中元素的可能阶数。最后，我们利用 $\Sp(4,\mathbb{Z})$ 的一个展示（presentation）来识别一些有限阶元素，并利用该展示进行显式计算以验证它们的阶数。