关于 Liouville 方程可控性的一些注记

我们重新审视 Roger Brockett 关于 Liouville 方程可控性的工作，特别关注以下问题：给定形如 $\dot{x} = f(x,u)$ 的光滑受控动力系统和状态空间微分同胚 $\psi$，设计一个反馈控制 $u(t,x)$，在有限时间内将任意初始状态 $x_0$ 引导至 $\psi(x_0)$。该问题的表述与最优传输理论及非线性可控性相联系。对于可控的线性系统，Brockett 证明了在 $\psi$ 满足相当严格的条件下这是可能的。我们证明对于大得多的微分同胚类，可控性即足够。对于定义在光滑流形上的非线性系统，我们回顾了 Agrachev 和 Caponigro 关于微分同胚群上可控性的近期结果。该结果的一个推论指出，对于满足括号生成条件的控制仿射系统，恒等元邻域内的任意 $\psi$ 均可通过在有限多个时不变流之间切换的时变反馈控制律来实现。我们证明了一个定量版本，使我们能够用切换次数的下界来描述 Agrachev-Caponigro 构造的实现复杂度。