非线性系统局部渐近与指数稳定的变分方法

局部渐近可稳定性是一个具有重大理论意义和实际重要性的课题。广义而言，若系统 $\dot{x} = f(x,u)$ 是局部渐近可稳定的，则保证存在反馈控制器 $u(x)$，使充分接近平衡点的轨迹收敛到该平衡点。Brockett给出了一个必要条件：此类控制器仅当 $f$ 在平衡点处为开映射时存在。近来，Gupta、Jafari、Kipka和Mordukhovich考虑了对该条件的修正，用现代变分分析中的线性开性性质取代Brockett的拓扑开性。本文中，我们证明在线性开性假设下，存在平衡点邻域的局部微分同胚，在该微分同胚上系统可通过连续定常反馈律实现指数稳定。引入一个横截性性质并将其与上述微分同胚相关联，我们证明在平衡点去心邻域上的线性开性与横截性是具有秩亏线性化的系统局部指数可稳定的充分条件。主要结果超越了存在指数稳定反馈律的通常Kalman和Hautus判据，因为它允许我们处理通过高阶项实现指数稳定的系统。然而，它目前是在相当严格的行秩条件下实现的。这暗示了使用这些性质的一种双重途径：逐点版本足以通过线性化保证稳定性，而局部版本足以克服线性化中的缺陷。