关于恒等映射加线性幂映射真性的一些观察

对于$2$个向量$x,y\in \mathbb{R}^m$，我们使用记号$x * y =(x_1y_1,\ldots ,x_my_m)$，若$x=y$亦使用记号$x^2=x*x$并归纳定义$x^k=x*(x^{k-1})$。我们以$<,>$表示$\mathbb{R}^m$上的通常内积。对系数在$\mathbb{R}$中的$m\times m$矩阵$A$，可赋予映射$F_A(x)=x+(Ax)^3:~\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^m$。矩阵$A$称为Druzkowski矩阵当且仅当对所有$x\in \mathbb{R}^m$有$det(JF_A(x))=1$。近期，Jiang Liu在arXiv上发布预印本，断言证明了Jacobian猜想，其通过实数中的一些不等式，证明了当$A$为Druzkowski矩阵时$F_A(x)$的真性。在该证明中，Liu实际上在$A$的更一般条件下断言了$F_A(x)$的真性，详见本文正文。受此预印本启发，本文研究上述映射$F_A(x)$(即便对非Druzkowski矩阵$A$)在何种程度上可为真映射的问题。我们获得了关于真性与非真性性质的多种必要条件与充分条件。在$A$的余秩为$1$的情形，得到了真性完备刻画：等价于一个次数至多$3$的多项式方程组存在非零解。由此推广，我们提出一个新猜想，并讨论了对(实)Jacobian猜想的一些应用。我们也考虑了更一般映射$x\pm (Ax)^k$或$x\pm A(x^k)$的真性。由Druzkowski的一个结果，我们的结论可应用于$\mathbb{C}^m$或$\mathbb{R}^m$上的所有多项式自映射。