经典力学中平面单摆的一些新特性

我们获得了平面单摆、双曲平面单摆和倒置平面单摆方程的精确解，以及正弦-戈登方程和双曲正弦-戈登方程的静态解之间的一种新颖联系，并获得了上述方程的一些精确解。此外，我们在一阶非谐近似下考虑平面单摆方程，获得了其大量精确周期解以及双曲解。此外，我们在二阶非谐近似下获得了平面单摆方程的两个精确解。进一步，我们利用雅可比椭圆函数 $-{\rm sn}(\theta,m)/{\rm dn}(\theta,m)$ 引入了一个椭圆平面单摆方程，该方程在 $m=0$ 极限下平滑过渡到平面单摆方程，在 $m=1$ 极限下平滑过渡到双曲平面单摆方程，其中 $m$ 为雅可比椭圆函数的模。我们证明在简谐近似下，椭圆单摆问题代表一族单参数等时系统。进一步，对于 $m=1/2$ 的特殊情况，我们证明即使在一阶非谐近似下仍存在等时系统。最后，我们简要讨论了双曲平面单摆，并在简谐近似和一阶非谐近似下获得了其部分精确解。